지하수 Darcy’ law 1

단면적 의 원형 실린더는 모래로 채워져 있고 양단은 마개로 막혀 있다. 그리고 유입관과 배출관, 한 쌍의 압력계(Manometer)가 구비되어 있다. 물이 실린더 내부로 들어오면 모든 공극이 물로 채워지는 시간까지 공극을 통해 흐르게 되며 유입률 는 배출률과 동일하다. 만일 우리가 높이 0 인 평면을 임의의 기준으로 정한다면 압력계 흡입구의 고도들은 각각 가 되며 유체 수위의 고도는 가 된다. 압력계 흡입구 간의 거리는 △ 이다. 만일 수리구배가 일정하게 유지된다고 하면 비례상수 는 실린더안의 토양의 특성을 나타내는데 일반적으로 수리전도도라고 부른다. 수리전도도는 전기전도도나 열전도도와 같이 대수층 물질이 얼마나 물을 잘 흐르게 하는가를 나타내는 물리 특성의 측정치이다. 수리전도도는 모래와 자갈에서 높은 수치를 나타내지만 점토나 암석에서는 낮은 수치를 가진다. △h와 △l은 둘 다 길이의 단위[L]를 가지기 때문에 분석하면 수리전도도가 속도의 차원[L/t]을 가진다는 것을 알 수 있다. 자연에서 1차원 유동인 경우는 거의 없기 때문에 식(3) 으로 표현된 Darcy 법칙은 실제 상황의 문제를 푸는데 적합하지 못한다. 가 모든 방향으로 동일한 값을 갖는다면 직교 좌표계에서 3차원 유동을 나타내는 일반화된 형태로 Darcy 법칙을 표현할 수 있다.Darcy 법칙은 공간 내 어떤 방향으로의 지하수 유동에도 적용할 수 있다. 그림 1과 식 (3)에 의하면 수리구배와 수리전도도가 일정하게 유지될 때 는 각도 와 무관하다. 앞서 비배출량 가 속도나 유량의 차원을 가진다고 했다. 이러한 이유로 는 Darcy 속도 또는 Darcy 유량 이라고 알려져 왔다. 비배출량은 거시적인 개념이므로 쉽게 측정할 수 있다. 물 입자들은 모래 입자 사이를 돌아 이동하기 때문에 비배출량은 개별 물 입자들의 실제 유동 경로와 연관되어 있는 미시적 속도와는 명백하게 다르다(그림 2). 미시적 속도는 실제 유체의 속도이지만 측정하는 것이 거의 불가능하다. 이 말은 Darcy 접근법으로 지하수 유동을 분석할 때 수리전도도와 같은 거시적 인자를 정의할 수 있는 대표 연속체로 다공성 매체를 구성하는 모래입자의 총제를 대체하고 미시적 거동의 거시적 평균을 서술하기 위하여 Darcy 법칙과 같은 거시적 법칙을 사용한다는 것을 의미한다. Darcy 법칙은 다공성 매체 내 유동을 다루는 많은 다른 분야에도 중요하게 적용할 수 있다. Darcy 법칙은 토양 수분의 유동을 묘사하며 토양물리학자, 농업기술자, 그리고 토질역학 전문가들에 의해서 사용되어 왔다. Darcy 법칙은 심층 지층에서 석유와 가스의 유동을 묘사하며 석유 저류층 분석자들에 의해서 사용되어 왔다. 화학 기술자들은 Darcy 법칙을 필터 설계에 사용하여 왔으며 재료과학자들은 다공성 세라믹의 설계에도 사용하였다. 생물학자들은 신체의 다공성 막을 통과하는 체액의 유동을 묘사하였다.Darcy 법칙의 한계성 Darcy 법칙은 거의 모든 수리지질학적 환경에서 지하수 유동을 정확하게 묘사한다. 그러나 이론적이나 실제적으로 Darcy 접근법의 한계성을 점검하는 것은 중요하다. 연속체의 정의에 내포되어 있는 가정, 미시 및 거시 유동의 개념, Darcy 법칙이 타당한 상한과 하한, 균열암석 내 유동과 관련된 문제 등에 대하여 고찰할 필요가 있다. 만일 Darcy 법칙이 거시적 법칙이라면 이 법칙이 성립하는 다공성 매체의 요소 크기는 하한을 가져야 한다. 그림 4을 이용하여 거시적이란 용어를 정의할 수 있다. 이 그림은 다공성 매체 내의 한 점 에서 취한 증가하는 체적 의 샘플에서 측정된 다공성 매체의 공극률을 가설적으로 그린 것이다. 대표요소체적(Representative Elementary Volume, REV)으로 정의할 수 있다. 이 체적은 실제적으로 연속체 접근법에 필요한 의미있는 통계학적 평균을 수용하기에 충분한 수의 공극을 포함해야 한다. 이 체적 이하에서는 점 에서 공극률을 나타낼 수 있는 단일 수치가 없다. 그림에서 와 같이 비균질 매체의 1개층 이상을 포함하는 크기에서 분석이 이루어질 때 이 크기를 때때로 확대규모(Megascopic)라고 부른다. Darcy 연속체를 통한 거시적 규모의 비배출량 만을 고려한다고 해도 Darcy 법칙을 적용하는 데는 한계가 있다. Darcy 법칙은 선형 법칙이므로 보편적으로 정확하다면 비배출량 와 수리구배 dh/dl 의 그래프는 0과 ∞사이의 모든 구배에 대하여 직선 관계를 보일 것이다. 입상 물질을 통한 유동에 대하여 이러한 선형 관계의 타당성이 의심스러운 상황이 적어도 2가지 있다. 첫 번째는 매우 작은 구 배 하에서 저투수성 퇴적물을 통한 유동이고 두 번째는 고투수성 퇴적물을 통한 대량 유동이다. 다시 말하면 Darcy 법칙이 타당한 범위에는 상한과 하한이 있을 수 있다는 것이다. 저투수성 세립 물질에 대한 실험 자료를 근거로 최소 수리구배 이하에서는 유동이 발생하지 않는다는 것이 제안되었다(그림 7), 아직까지는 메커니즘에 관한 일치된 의견이 없고 실험적 증거들에 대한 의심의 여지도 많다. 어떠한 상황에서도 그 현상의 실제적인 중요성은 적은데 예상 가능한 한계 구배에서의 유동 속도 는 어느 경우에 있어서도 매우 미미할 것이다. 실질적으로 더 중요한 것은 Darcy 법칙이 타당한 범위의 상한이다. 오래 전부터 유동이 매우 빠른 경우 Darcy 법칙은 성립되지 않는다는 사실이 알려져 왔다. 상한은 일반적으로 유동하는 동안 점성력에 대한 관성력의 비로 표현되는 무 차원 수인 Reynolds 수 로 판정한다. 다공성 매체를 통한 유동에서 Reynolds 수는 다음과 같이 정의된다. 여기서 ρ와 μ는 유체의 밀도와 점도이다. 는 다공성 매체에 대한 대표 길이의 차원으로 표현되며 평균 공극 크기, 평균 입자직경 또 는 투수도 의 제곱근 함수 등으로 나타낸다. 실험적 근거를 요약 하면 Darcy 법칙은 평균 입자 직경에 따라 결정된 Reynolds 수가 1 과 10사이의 어떤 값을 초과 하지 않을 때 타당하다(그림 8), 이러한 Reynolds 수의 범위에서 입상 매체를 통한 모든 유동에서는 점성력이 우세한 층류(Laminar Flow)이다.